BZOJ 1076: [SCOI2008]奖励关

Description

你正在玩你最喜欢的电子游戏,并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里,系统将依次随机抛出k次宝物,每次你都可以选择吃或者不吃(必须在抛出下一个宝物之前做出选择,且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃)。

宝物一共有n种,系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说,即使前k-1 次系统都抛出宝物1(这种情况是有可能出现的,尽管概率非常小),第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。

获取第 i 种宝物将得到Pi分,但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次,才能吃第i 种宝物(如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物,相当于白白的损失了一次机会)。注意,Pi 可以是负数,但如果它是很多高分宝物的前提,损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。

假设你采取最优策略,平均情况你一共能在奖励关得到多少分值?

Input

第一行为两个正整数k和n,即宝物的数量和种类。

以下n行分别描述一种宝物,其中第一个整数代表分值,随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物(各宝物编号为1到n),以0结尾。

Output

输出一个实数,保留六位小数,即在最优策略下平均情况的得分。

Sample Input

1 2
1 0
2 0

Sample Output

1.500000

HINT

1<=k<=100,1<=n<=15,分值为[-10^6,10^6]内的整数。

Source

Solution

这道题完全没思路。。从网上看的题解。。
首先神奇的一点是,要从后往前DP!!因为起始状态固定的 而之后的状态依赖前面的状态,有些前面状态不合法的。。

dp_i,j表示考虑了前i个宝物(第i个没选的时候),选取状态为j的最大期望,和的期望等于期望和,考虑这个状态能转移到哪些之后的状态。
答案就在dp_1,0

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n, m, x, v[15], b[15];
double f[105][1<<15];
int main() {
	scanf("%d %d", &m, &n);
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		scanf("%d", v + i);
		while (true) {
			scanf("%d", &x);
			if (x == 0) break;
			b[i] |= (1<<(x-1));
		}
	}
	const int MX = (1 << n);
	for (int i = m; i >= 1; --i)
		for (int j = 0; j < MX; ++j) {
			for (int k = 0; k < n; ++k) {
				if ((b[k] & j) == b[k]) f[i][j] += max(f[i+1][j], f[i+1][j|(1<<k)] + double(v[k]));
				else f[i][j] += f[i+1][j];
			}
			f[i][j] /= (double)n;
		}
	printf("%.6lf\n", f[1][0]);
}

 

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