BZOJ 2005: [Noi2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物,则能量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中,总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行,为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20

HINT

【数据规模和约定】
对于10%的数据:1 ≤ n, m ≤ 10;
对于50%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100;
对于80%的数据:1 ≤ n, m ≤ 1000;
对于90%的数据:1 ≤ n, m ≤ 10,000;
对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。

Solution

显然(x,y)到(0,0)上有gcd(x,y)-1个点,答案就是

\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m 2(gcd(i,j)-1)+1\)

稍微化简一下得到\[Ans = 2 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m gcd(i,j) – nm = 2 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{d|gcd(i,j)} \phi(d) – nm = \sum_{1 \leq d \leq \min (n,m)} \phi(d) \times \lfloor \frac{n} {d} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{d} \rfloor – nm\]

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 111111;
LL Phi[maxn], Prime[maxn], vis[maxn];
LL n, m, N, tot, Ans;
void Linear_Shaker() {
	Phi[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= N; ++i) {
		if (!vis[i]) {
			Prime[++tot] = i;
			Phi[i] = i - 1;
		}
		for (int j = 1; j <= tot && Prime[j] * i <= N; ++j) {
			vis[Prime[j] * i] = true;
			if (i % Prime[j] == 0) {
				Phi[Prime[j] * i] = Phi[i] * Prime[j]; 
				break;
			} else Phi[Prime[j] * i] = Phi[i] * Phi[Prime[j]];
		}
	}
}
int main() {
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	N = min(n, m);
	Linear_Shaker();
	for (int i = 1; i <= N; ++i)
		Ans += (LL) Phi[i] * (n / i) * (m / i);
	Ans *= 2; Ans -= n * m;
	printf("%lld", Ans);
	return 0;
}

 

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